Construction d'un pentagone régulier

Cette activité propose de construire le pentagone régulier suivant un protocole établi par Euclide.
Objectif : tracer, sur une feuille non quadrillée, le pentagone régulier \(\text{ABCDE}\).
Pour commencer, tracer d'abord un cercle \(\mathcal{C}\) de diamètre \(\text{[AA}^\prime]\) de longueur \(2\) et de centre \(\text{O'}\).
Suivre les quatre étapes suivantes.

Étape 1 : construction d'une diagonale du pentagone

Observer la figure suivante qui montre une première étape de construction.
Le point \(\text{P}\) est une intersection entre le cercle \(\mathcal{C}\) et la médiatrice de \(\text{[AA}^\prime]\).
\(\text{I}\) est le milieu de \(\text{[AO}^\prime]\). On a tracé le cercle de centre \(\text I\) et de rayon \(\text{[IP]}\) qui coupe \(\text{[O}^\prime\text{A}^\prime]\) en un point que l'on appelle \(\text C\).
Reproduire la construction puis répondre aux questions.

On rappelle que \(\text{AO}^\prime=1\).
1. Démontrer que \(\text{IP}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
2. Démontrer que \(\text{AC}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\). Ce nombre est connu sous le nom de nombre d'or.
\(\text{[AC]}\) est donc un segment dont la longueur est le nombre d'or.
On peut démontrer la propriété suivante.

Propriété 

\(\text{[AC]}\) est une diagonale du pentagone régulier de côté \(1\) lorsque sa longueur est égale au nombre d'or. \(\text{A}\) et \(\text{C}\) sont donc deux sommets du pentagone régulier.

Étape 2 : un troisième sommet du pentagone régulier

Pour des raisons de clarté, dans la figure suivante, les traits de construction non nécessaires ont été effacés (à ne pas faire dans la production réalisée à l'étape précédente).
La figure suivante montre la construction du sommet \(\text{B}\) du pentagone régulier.

3. Expliquer comment il a été construit et reproduire cette étape.

Étape 3 : construction du cercle circonscrit au pentagone régulier

Par définition, tous les sommets d'un polygone régulier appartiennent à un cercle. Ayant trois des cinq sommets du pentagone régulier, il suffit de déterminer le centre \(\text{O}\) du cercle passant par \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\).

4. Observer la figure suivante, puis expliquer comment ont été construites les deux droites en pointillés dont l'intersection est le point \(\text{O}\) cherché. Reproduire la construction du point \(\text{O}\).

Étape 4 : construction des deux derniers sommets

Le cercle de centre \(\text{O}\) et de rayon \(\text{OA}\) coupe les cercles de centre \(\text{C}\) et de centre \(\text{A}\) tracés à l'étape 2 en deux nouveaux points, respectivement \(\text{D}\) et \(\text{E}\).

5. Expliquer pourquoi \(\text{D}\) et \(\text{E}\) sont les deux derniers sommets du pentagone régulier et compléter la figure.